.RU

Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’ Тензор скоростей деформации


Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’



Основные уравнения. Уравнения сохранения массы

, (1)

количества движения

, (2)

энергии

(3)

пригодны для различных течений жидкости и газа, но их не достаточно для решения конкретных задач. Дело в том, что число неизвестных величин в этих уравнениях больше числа уравнений. Наряду с гидродинамическими величинами , характеризующими поля течений, в них входят другие величины, в частности напряжения поверхностных сил , потоки тепла через поверхность . Необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения, описывающие физические свойства среды, движение которой изучается на основе законов механики. Иначе говоря, необходимо построить теоретическую модель изучаемой среды, которая описывается замкнутой системой уравнений.


^ Тензор напряжений. Напряженное состояние в произвольной точке в поле определяется тройкой векторов , которые представляют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям x, y, z. Каждому из этих векторов соответствуют три проекции, например,

(4)

Систему координат с началом в данной точке можно выбрать многими способами, и, следовательно, можно ввести в рассмотрение бесконечное множество троек векторов напряжений. Выясним связь между векторами напряжений в двух системах координат.

Для сокращения записи формул координатные оси будем помечать индексами 1, 2, 3. Пусть и - единичные векторы двух систем координат с общим началом, а и - векторы напряжений, действующие в этих системах на площадках, нормали к которым ориентированы по координатным осям.

Положение одной системы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов



Применим формулу Коши к каждому из штрихованных векторов

(5)

Тройка векторов , определенных в любой декартовой ортогональной системе координат таким образом, что при переходе от одной системы к другой векторы преобразуются по формулам (5), называется тензором. Таким образом, векторы образуют тензор напряжений. Так как каждый из векторов определяется по (4) своими тремя проекциями , то в матричной форме этот тензор имеет следующий вид:

(6)

Тензор напряжений является симметричным. Это свойство тензора напряжений вытекает из уравнений моментов количества движения в классическом случае, когда отсутствуют внутренние моменты количества движения и внешние массовые и поверхностные распределенные пары взаимодействия. Уравнение моментов количества движения при этих условиях записывается следующим образом:

(7)

Интеграл по поверхности преобразуется в объемный:



Теперь уравнение (7) можно переписать так:

(8)

В силу уравнения количества движения (2) левая часть (8) обращается в нуль, следовательно, в силу произвольности должно обращаться в нуль подынтегральное выражение в правой части

(9)

Из (9) следуют равенства



или в сокращенной записи, .

С симметричным тензором второго ранга связана симметрическая квадратичная форма

(10)

В этой записи предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Как известно, существует главная система координат , в которой квадратичная форма (10) имеет простейший вид



Тензор напряжений в этой системе содержит только диагональные члены



Приведение квадратичной формы (10), записанной в произвольной ортогональной декартовой системе координат, к главным осям () осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Величины называются главными напряжениями, они находятся как корни уравнения



Вещественность корней следует из симметричности тензора. Это уравнение эквивалентно следующему:

(11)

Отсюда следует, что величины не изменяются при замене осей координат. Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений: линейный , квадратичный , кубический . Их можно выразить через коэффициенты или через корни уравнения (11):

(12)


Тензор скоростей деформаций. Выберем малую частицу жидкости и точку , принадлежащую этой частице. Для любой точки , бесконечно близкой к , можно записать разложение Тейлора в линейном приближении

(13)

Здесь - координаты точки относительно точки , так что



Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов



Тогда (13) можно переписать следующим образом:



Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору ставит в соответствие вектор . Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица определяет тензор.

Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

(14)

В силу линейности (13) по функция должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:



Спроектируем (14) на оси координат:

(15)

Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы и проекции векторов :

(16)

Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем , где - скорость полюса - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через . Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса , скорости этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс , скорости деформации . Угловая скорость вращения частицы равна



скорость деформации частицы



На основании соотношений (16) тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

(17)

Симметричный тензор определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма . Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси , в которых квадратичная форма принимает простейшую форму



Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации находятся как корни векового уравнения



Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный , квадратичный , кубический . В частности, для линейного инварианта имеем выражения

(18)


Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры и характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

  1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

  2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

  3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами и , удовлетворяющий этим условиям, есть

(19)

Здесь - единичный тензор, и - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем . Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление . Значение выражается через первый инвариант тензора :



Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением



Равенство (19) означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правой частях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим с помощью формул (12), (18):



Отсюда находим



Выразим теперь через давление ,



тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):

(20)

Величина называется коэффициентом динамической вязкости, а - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения , , , в котором возникает сила трения



Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

Коэффициент характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

Коэффициенты , всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с используется коэффициент кинематической вязкости . Значения заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение , тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

(21)

Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

(22)


^ Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

(23)

с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

(24)

Если жидкость несжимаемая и = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

(25)

Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить из уравнения энергии:

(26)

Входящая в это равенство функция называется диссипативной функцией. Очевидно, при .

Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

(27)


^ Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом к горизонту. Определить движение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.

Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось z перпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правой ортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. Уравнение Навье-Стокса с при наличии гравитационного поля g имеет вид:



На свободной поверхности ( z = h ) должны выполняться условия:



где - атмосферное давление, а - коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть ; удовлетворяющие этим условиям решение есть



Количество жидкости, протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно


referat-po-predmetu-fizicheskaya-kultura-na-temu-vzdorovom-tele-zdorovij-duh.html
referat-po-predmetu-imos-tema-istoriya-otechestvennogo-televideniya-i-televeshaniya.html
referat-po-predmetu-istoriya-na-temu-moj-dedushka-uchastnik-velikoj-otechestvennoj-vojni.html
referat-po-predmetu-istoriya-otechestvennoj-kulturi-tema-russkoe-yurodstvo-kak-fenomen-kulturi-ego-nacionalnoe-znachenie.html
referat-po-predmetu-koncepcii-sovremennogo-estestvoznaniya-na-temu-kvantovo-mehanicheskaya-model-atoma-vodoroda.html
referat-po-predmetu-konstruirovanie-i-tehnologiya-proizvodstva-evm-tema-krioelektronika.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-7-regulyarnie-mezhdugorodnie-mezhoblastnie-vklyuchaya-stolicu-i-gorod-respublikanskogo-znacheniya-avtomobilnie-perevozki-passazhirov-i-bagazha.html
  • teacher.bystrickaya.ru/ezhekvartalnij-otchet-oao-kamaz-za-2-kvartal-2004-goda-stranica-10.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pravovoe-regulirovanie-dogovora-finansovoj-arendi-lizinga-v-rossijskoj-federacii.html
  • literature.bystrickaya.ru/cikli-amerikanskoj-istorii-arthur-mschlesinger-stranica-17.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-elektivnogo-kursa-p.html
  • studies.bystrickaya.ru/11092008-g-s-7-tema-stroitelstvo-stroitelen-kontrol.html
  • notebook.bystrickaya.ru/i-grafika.html
  • assessments.bystrickaya.ru/doklad-o-sovershenstvovanii-raboti-profsoyuznih-organizacij-po-kontrolyu-za-sostoyaniem-ohrani-truda-na-proizvodstve.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/arishti-deneler-degenmz-ne.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-podgotovke-k-sdache-kandidatskih-ekzamenov-kandidatskij-ekzamen-po-discipline-istoriya-i-filosofiya-nauki.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-specialnoj-disciplini-standart-sd-ekaterinburg.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/14-ckitaniya-maga-frensis-king.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-7-mihail-uspenskij.html
  • lecture.bystrickaya.ru/banditizm-sostav-i-vidi-etogo-prestupleniya-otlichie-dannogo-prestupleniya-ot-organizacii-prestupnogo-soobshestva-chast-4.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zotov-a-f-sovremennaya-zapadnaya-filosofiya-uchebn-m-vissh-shk-2001-784-s-stranica-33.html
  • credit.bystrickaya.ru/oranshili-zhne-amorshili-zhnnde-anitama-beru-memlekettk-izmet-standartini-zhobasi.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-municipalnogo-byudzhetnogo-doshkolnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
  • education.bystrickaya.ru/1-ishodnoe-sostoyanie-sistemnoj-problemi-sistemantika.html
  • notebook.bystrickaya.ru/izdanie-osushestvleno-v-ramkah-programmi-pushkin-pri-podderzhke-ministerstva-inostrannih-del-francii-i-posolstva-francii-v-rossii-dannoe-izdanie-vipusheno-v-ramkah-programmi-stranica-30.html
  • assessments.bystrickaya.ru/bella-ahmadulina-sbornik-stihov-stranica-3.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rukovoditel-sekcii-kf-mn-docent-badeev-av-konferencii.html
  • klass.bystrickaya.ru/413560-saratovskaya-oblast-krasnopartizanskij-rajon-p-petrovskij-ul-centralnaya-40.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/v-moej-voobrazili.html
  • textbook.bystrickaya.ru/i-arhivnie-materiali-arhiv-vneshnej-politiki-rossijskoj-imperii-istoriko-dokumentalnij-departament-mid-rf-dalee-avpri-stranica-15.html
  • college.bystrickaya.ru/3-primeri-ocenivaniya-otvetov-uchashihsya-po-kazhdomu-tipu-zadanij-s-razvernutim-otvetom-s-kommentariyami.html
  • letter.bystrickaya.ru/obustrojstvo-dorogi-organizaciya-i-bezopasnost-dvizheniya-volga.html
  • thescience.bystrickaya.ru/igra-kalya-malya-16-yanvarya-2012-16-00-17-00-aktovij-zal-1-4-klassi-36-uchashihsya.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/avtomatizirovannie-informacionnie-tehnologii-v-nalogovoj-sluzhbe-2.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/press-sekretar-aleksandr-valerevich-aleksandrov-576-71-70-presszakongovspbru.html
  • universitet.bystrickaya.ru/stroitelnij-sektor-nyusmejkeri-9.html
  • abstract.bystrickaya.ru/090103-funkcii-chteniya-zapisi-v-fajl-karkasa.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/upravlenie-nelinejnimi-mnogosvyaznimi-obektami-v-usloviyah-neopredelennosti.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskoe-posobie-chast-3-tehnologiya-elektromontazhnih-rabot-odobreno-metodicheskoj-komissiej-elektrotehnicheskogo-fakulteta-gomel-2010.html
  • textbook.bystrickaya.ru/i-schastyu-v-budushem-kogda-vi-svoj-potencial-dlya-dostizheniya-uspeha.html
  • textbook.bystrickaya.ru/ispolnitelnaya-vlast-subektov-rf-na-primere-orenburgskoj-oblasti-chast-8.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.