.RU

Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’ Тензор скоростей деформации


Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’



Основные уравнения. Уравнения сохранения массы

, (1)

количества движения

, (2)

энергии

(3)

пригодны для различных течений жидкости и газа, но их не достаточно для решения конкретных задач. Дело в том, что число неизвестных величин в этих уравнениях больше числа уравнений. Наряду с гидродинамическими величинами , характеризующими поля течений, в них входят другие величины, в частности напряжения поверхностных сил , потоки тепла через поверхность . Необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения, описывающие физические свойства среды, движение которой изучается на основе законов механики. Иначе говоря, необходимо построить теоретическую модель изучаемой среды, которая описывается замкнутой системой уравнений.


^ Тензор напряжений. Напряженное состояние в произвольной точке в поле определяется тройкой векторов , которые представляют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям x, y, z. Каждому из этих векторов соответствуют три проекции, например,

(4)

Систему координат с началом в данной точке можно выбрать многими способами, и, следовательно, можно ввести в рассмотрение бесконечное множество троек векторов напряжений. Выясним связь между векторами напряжений в двух системах координат.

Для сокращения записи формул координатные оси будем помечать индексами 1, 2, 3. Пусть и - единичные векторы двух систем координат с общим началом, а и - векторы напряжений, действующие в этих системах на площадках, нормали к которым ориентированы по координатным осям.

Положение одной системы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов



Применим формулу Коши к каждому из штрихованных векторов

(5)

Тройка векторов , определенных в любой декартовой ортогональной системе координат таким образом, что при переходе от одной системы к другой векторы преобразуются по формулам (5), называется тензором. Таким образом, векторы образуют тензор напряжений. Так как каждый из векторов определяется по (4) своими тремя проекциями , то в матричной форме этот тензор имеет следующий вид:

(6)

Тензор напряжений является симметричным. Это свойство тензора напряжений вытекает из уравнений моментов количества движения в классическом случае, когда отсутствуют внутренние моменты количества движения и внешние массовые и поверхностные распределенные пары взаимодействия. Уравнение моментов количества движения при этих условиях записывается следующим образом:

(7)

Интеграл по поверхности преобразуется в объемный:



Теперь уравнение (7) можно переписать так:

(8)

В силу уравнения количества движения (2) левая часть (8) обращается в нуль, следовательно, в силу произвольности должно обращаться в нуль подынтегральное выражение в правой части

(9)

Из (9) следуют равенства



или в сокращенной записи, .

С симметричным тензором второго ранга связана симметрическая квадратичная форма

(10)

В этой записи предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Как известно, существует главная система координат , в которой квадратичная форма (10) имеет простейший вид



Тензор напряжений в этой системе содержит только диагональные члены



Приведение квадратичной формы (10), записанной в произвольной ортогональной декартовой системе координат, к главным осям () осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Величины называются главными напряжениями, они находятся как корни уравнения



Вещественность корней следует из симметричности тензора. Это уравнение эквивалентно следующему:

(11)

Отсюда следует, что величины не изменяются при замене осей координат. Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений: линейный , квадратичный , кубический . Их можно выразить через коэффициенты или через корни уравнения (11):

(12)


Тензор скоростей деформаций. Выберем малую частицу жидкости и точку , принадлежащую этой частице. Для любой точки , бесконечно близкой к , можно записать разложение Тейлора в линейном приближении

(13)

Здесь - координаты точки относительно точки , так что



Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов



Тогда (13) можно переписать следующим образом:



Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору ставит в соответствие вектор . Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица определяет тензор.

Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

(14)

В силу линейности (13) по функция должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:



Спроектируем (14) на оси координат:

(15)

Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы и проекции векторов :

(16)

Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем , где - скорость полюса - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через . Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса , скорости этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс , скорости деформации . Угловая скорость вращения частицы равна



скорость деформации частицы



На основании соотношений (16) тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

(17)

Симметричный тензор определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма . Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси , в которых квадратичная форма принимает простейшую форму



Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации находятся как корни векового уравнения



Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный , квадратичный , кубический . В частности, для линейного инварианта имеем выражения

(18)


Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры и характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

  1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

  2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

  3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами и , удовлетворяющий этим условиям, есть

(19)

Здесь - единичный тензор, и - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем . Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление . Значение выражается через первый инвариант тензора :



Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением



Равенство (19) означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правой частях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим с помощью формул (12), (18):



Отсюда находим



Выразим теперь через давление ,



тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):

(20)

Величина называется коэффициентом динамической вязкости, а - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения , , , в котором возникает сила трения



Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

Коэффициент характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

Коэффициенты , всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с используется коэффициент кинематической вязкости . Значения заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение , тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

(21)

Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

(22)


^ Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

(23)

с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

(24)

Если жидкость несжимаемая и = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

(25)

Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить из уравнения энергии:

(26)

Входящая в это равенство функция называется диссипативной функцией. Очевидно, при .

Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

(27)


^ Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом к горизонту. Определить движение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.

Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось z перпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правой ортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. Уравнение Навье-Стокса с при наличии гравитационного поля g имеет вид:



На свободной поверхности ( z = h ) должны выполняться условия:



где - атмосферное давление, а - коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть ; удовлетворяющие этим условиям решение есть



Количество жидкости, протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно


referat-po-predmetu-fizicheskaya-kultura-na-temu-vzdorovom-tele-zdorovij-duh.html
referat-po-predmetu-imos-tema-istoriya-otechestvennogo-televideniya-i-televeshaniya.html
referat-po-predmetu-istoriya-na-temu-moj-dedushka-uchastnik-velikoj-otechestvennoj-vojni.html
referat-po-predmetu-istoriya-otechestvennoj-kulturi-tema-russkoe-yurodstvo-kak-fenomen-kulturi-ego-nacionalnoe-znachenie.html
referat-po-predmetu-koncepcii-sovremennogo-estestvoznaniya-na-temu-kvantovo-mehanicheskaya-model-atoma-vodoroda.html
referat-po-predmetu-konstruirovanie-i-tehnologiya-proizvodstva-evm-tema-krioelektronika.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prava-i-obyazannosti-pobeditelya-konkursa-konkursnaya-dokumentaciya-po-provedeniyu-otkritogo-konkursa-na-pravo.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sekciya-marketing-programma-den-nauki-2010-fakultet-nachalnogo-obrazovaniya-konferenciya-prepodavatelej.html
  • college.bystrickaya.ru/1obshie-polozheniya-11zakonodatelnoe-regulirovanie-dokumentaciya-ob-aukcione-po-provedeniyu-otkritogo-aukciona.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-vipolneniyu-kursovih-i-vipusknih-kvalifikacionnih-rabot-dlya-studentov-obuchayushihsya-po-specialnosti-030501-65-yurisprudenciya-utverzhdeno-redakcionno-izdatelskim-sovetom-i.html
  • report.bystrickaya.ru/interfaks-ukraina-14062011-deputat-chornovil-razmer-pensii-dolzhen-zaviset-tolko-ot-razmera-zarplati-i-trudovogo-stazha.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-12-socialnaya-percepciya-socialnaya-psihologiya.html
  • desk.bystrickaya.ru/ot-horoshego-k-velikomu-dzhim-kollinz-stranica-31.html
  • institut.bystrickaya.ru/tipovaya-instrukciya-po-ohrane-truda-dlya-komandira-studencheskogo-stroitelnogo-otryada-stranica-2.html
  • doklad.bystrickaya.ru/visshaya-shkola-ekonomiki-komplekt-metodicheskih-materialov-k-kursu.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lab-rab-1-tipovie-zvenya-sistem-avtomaticheskogo-upravleniya-sau.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-2-forma-i-struktura-konstitucij-b-a-strashun-moskva-izdatelstvo.html
  • bukva.bystrickaya.ru/romania-correct-chast-8.html
  • shkola.bystrickaya.ru/specifika-iskusstva-reklami-ego-vozniknovenie-sinteticheskie-harakteristiki.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uroka-pamyati-fedora-andreevicha-sherbini.html
  • essay.bystrickaya.ru/dajte-mne-tochku-opori-i-ya-perevernu-zemlyu-kirdina-s-g-institucionalnie-matrici-i-razvitie-rossii.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/uchebnoe-posobie-omsk-izdatelstvo-sibadi-2006-stranica-3.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/trudovie-pravootnosheniya-2.html
  • klass.bystrickaya.ru/a-m-sitnik-mezhdunarodnoe-chastnoe-pravo-visshaya-matematika-yurisprudencii-stranica-13.html
  • literatura.bystrickaya.ru/referat-tema-profilaktika-vrednih-privichek.html
  • holiday.bystrickaya.ru/ocenka-gigienicheskoj-effektivnosti-obezzarazhivaniya-pitevoj-vodi-dioksidom-hlora-poluchaemogo-hloratnim-sposobom.html
  • composition.bystrickaya.ru/polozhenie-o-komissii-po-tovarnim-birzham-pri-federalnoj-sluzhbe-po-finansovim-rinkam-rukovoditel-federalnoj-sluzhbi-po-finansovim-rinkam.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/leksicheskie-kategorii-i-ih-stilisticheskie-osobennosti-v-tvorchestve-loika-sherali-10-02-22-yaziki-narodov-zarubezhnih-stran-evropi-azii-afriki-aborigenov-ameriki-i-avstralii-tadzhikskij-yazik.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-23-zaregistrirovano-v-nacionalnom-reestre-pravovih-aktov.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplini-pravovoe-regulirovanie-professionalnoj-deyatelnosti-rekomenduetsya-dlya-napravleniya-podgotovki-100700-torgovoe-delo.html
  • spur.bystrickaya.ru/materiali-mezhregionalnoj-filologicheskoj-konferencii.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/vladimir-pershanin-mi-pol-evropi-po-plastunski-propahali-stranica-3.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/nauchnaya-rabota-velas-po-sleduyushim-20-napravleniyam-stranica-11.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/prilozhenie-2-tehnicheskoe-zadanie-dlya-provedeniya-elektronnogo-aukciona-na-pravo-zaklyucheniya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nlp-upravlenie-kreativnostyu-moskva-sankt-peterburg-nizhnij-novgorod-voronezh-rostov-na-donu-ekaterinburg-samara-kiev-harkov-minsk-2003-bbk-88-53-stranica-45.html
  • grade.bystrickaya.ru/narrativnij-analiz-g-g-pochepcov-informacionnie-vojni.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nikolaj-rerih-stranica-53.html
  • klass.bystrickaya.ru/42-predvaritelnoe-rassmotrenie-dokumentov-i-ih-raspredelenie-instrukciya-po-deloproizvodstvu-v-apparate-centralnogo.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-4-vnutrennij-mir-i-sostoyaniya-soznaniya-problemi-s-7882166266300440465.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kovalevskaya-o-a-kurevina-e-d-kovalevskaya-uchebnik-po-izobrazitelnomu-iskusstvu-dlya-4-go-klassa-raznocvetnij-mir.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tatyanin-den-25-yanvarya-katalog-materialov-v-pomosh-uchebno-vospitatelnomu-processu.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.