.RU

Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’ Тензор скоростей деформации


Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’



Основные уравнения. Уравнения сохранения массы

, (1)

количества движения

, (2)

энергии

(3)

пригодны для различных течений жидкости и газа, но их не достаточно для решения конкретных задач. Дело в том, что число неизвестных величин в этих уравнениях больше числа уравнений. Наряду с гидродинамическими величинами , характеризующими поля течений, в них входят другие величины, в частности напряжения поверхностных сил , потоки тепла через поверхность . Необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения, описывающие физические свойства среды, движение которой изучается на основе законов механики. Иначе говоря, необходимо построить теоретическую модель изучаемой среды, которая описывается замкнутой системой уравнений.


^ Тензор напряжений. Напряженное состояние в произвольной точке в поле определяется тройкой векторов , которые представляют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям x, y, z. Каждому из этих векторов соответствуют три проекции, например,

(4)

Систему координат с началом в данной точке можно выбрать многими способами, и, следовательно, можно ввести в рассмотрение бесконечное множество троек векторов напряжений. Выясним связь между векторами напряжений в двух системах координат.

Для сокращения записи формул координатные оси будем помечать индексами 1, 2, 3. Пусть и - единичные векторы двух систем координат с общим началом, а и - векторы напряжений, действующие в этих системах на площадках, нормали к которым ориентированы по координатным осям.

Положение одной системы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов



Применим формулу Коши к каждому из штрихованных векторов

(5)

Тройка векторов , определенных в любой декартовой ортогональной системе координат таким образом, что при переходе от одной системы к другой векторы преобразуются по формулам (5), называется тензором. Таким образом, векторы образуют тензор напряжений. Так как каждый из векторов определяется по (4) своими тремя проекциями , то в матричной форме этот тензор имеет следующий вид:

(6)

Тензор напряжений является симметричным. Это свойство тензора напряжений вытекает из уравнений моментов количества движения в классическом случае, когда отсутствуют внутренние моменты количества движения и внешние массовые и поверхностные распределенные пары взаимодействия. Уравнение моментов количества движения при этих условиях записывается следующим образом:

(7)

Интеграл по поверхности преобразуется в объемный:



Теперь уравнение (7) можно переписать так:

(8)

В силу уравнения количества движения (2) левая часть (8) обращается в нуль, следовательно, в силу произвольности должно обращаться в нуль подынтегральное выражение в правой части

(9)

Из (9) следуют равенства



или в сокращенной записи, .

С симметричным тензором второго ранга связана симметрическая квадратичная форма

(10)

В этой записи предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Как известно, существует главная система координат , в которой квадратичная форма (10) имеет простейший вид



Тензор напряжений в этой системе содержит только диагональные члены



Приведение квадратичной формы (10), записанной в произвольной ортогональной декартовой системе координат, к главным осям () осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Величины называются главными напряжениями, они находятся как корни уравнения



Вещественность корней следует из симметричности тензора. Это уравнение эквивалентно следующему:

(11)

Отсюда следует, что величины не изменяются при замене осей координат. Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений: линейный , квадратичный , кубический . Их можно выразить через коэффициенты или через корни уравнения (11):

(12)


Тензор скоростей деформаций. Выберем малую частицу жидкости и точку , принадлежащую этой частице. Для любой точки , бесконечно близкой к , можно записать разложение Тейлора в линейном приближении

(13)

Здесь - координаты точки относительно точки , так что



Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов



Тогда (13) можно переписать следующим образом:



Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору ставит в соответствие вектор . Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица определяет тензор.

Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

(14)

В силу линейности (13) по функция должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:



Спроектируем (14) на оси координат:

(15)

Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы и проекции векторов :

(16)

Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем , где - скорость полюса - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через . Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса , скорости этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс , скорости деформации . Угловая скорость вращения частицы равна



скорость деформации частицы



На основании соотношений (16) тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

(17)

Симметричный тензор определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма . Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси , в которых квадратичная форма принимает простейшую форму



Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации находятся как корни векового уравнения



Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный , квадратичный , кубический . В частности, для линейного инварианта имеем выражения

(18)


Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры и характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

  1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

  2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

  3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами и , удовлетворяющий этим условиям, есть

(19)

Здесь - единичный тензор, и - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем . Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление . Значение выражается через первый инвариант тензора :



Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением



Равенство (19) означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правой частях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим с помощью формул (12), (18):



Отсюда находим



Выразим теперь через давление ,



тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):

(20)

Величина называется коэффициентом динамической вязкости, а - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения , , , в котором возникает сила трения



Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

Коэффициент характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

Коэффициенты , всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с используется коэффициент кинематической вязкости . Значения заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение , тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

(21)

Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

(22)


^ Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

(23)

с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

(24)

Если жидкость несжимаемая и = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

(25)

Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить из уравнения энергии:

(26)

Входящая в это равенство функция называется диссипативной функцией. Очевидно, при .

Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

(27)


^ Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом к горизонту. Определить движение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.

Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось z перпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правой ортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. Уравнение Навье-Стокса с при наличии гравитационного поля g имеет вид:



На свободной поверхности ( z = h ) должны выполняться условия:



где - атмосферное давление, а - коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть ; удовлетворяющие этим условиям решение есть



Количество жидкости, протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно


referat-po-predmetu-fizicheskaya-kultura-na-temu-vzdorovom-tele-zdorovij-duh.html
referat-po-predmetu-imos-tema-istoriya-otechestvennogo-televideniya-i-televeshaniya.html
referat-po-predmetu-istoriya-na-temu-moj-dedushka-uchastnik-velikoj-otechestvennoj-vojni.html
referat-po-predmetu-istoriya-otechestvennoj-kulturi-tema-russkoe-yurodstvo-kak-fenomen-kulturi-ego-nacionalnoe-znachenie.html
referat-po-predmetu-koncepcii-sovremennogo-estestvoznaniya-na-temu-kvantovo-mehanicheskaya-model-atoma-vodoroda.html
referat-po-predmetu-konstruirovanie-i-tehnologiya-proizvodstva-evm-tema-krioelektronika.html
  • crib.bystrickaya.ru/itogi-iv-federalnogo-investicionnogo-foruma-30-31-oktyabrya-v-moskve-sostoyalos-itogovoe-meropriyatie-rossijskogo-rinka-kapitala-2007-g.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/publichnij-doklad-po-rezultatam-deyatelnosti-za-2010-2011-uchebnij-god-municipalnogo-doshkolnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-stranica-2.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/29122009-g-s-14-tema-stroitelstvo-stroitelen-kontrol.html
  • literatura.bystrickaya.ru/rezhisser-avtor-spektaklya-programma-rezhisserskoj-shkoli-13-ob-osnovah-professii-17-zakoni-studijnoj-etiki-17-teoreticheskie.html
  • control.bystrickaya.ru/dolzhnostnaya-instrukciya-uchitelya-matematiki-sanitarno-gigienicheskie-trebovaniya-k-kabinetu-matematiki-8-12-opis-nalichiya-oborudovaniya-kabineta.html
  • shpora.bystrickaya.ru/welcome-to-scotland-and-robert-burns.html
  • student.bystrickaya.ru/242-tehnologiya-eai-moskovskij-gosudarstvennij-institut-elektroniki-i-matematiki.html
  • composition.bystrickaya.ru/opisanie-programmi-master-zapominaniya-uchebnik-mnemotehniki-sistema-zapominaniya-dzhordano.html
  • studies.bystrickaya.ru/ispolzovanie-kosmicheskih-metodov-pri-issledovanii-prirodnih-resursov.html
  • grade.bystrickaya.ru/obyazannosti-glavnogo-mehanika-shahti-instrukciya-po-sostavleniyu-planov-likvidacii-avarij.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-14-mishlenie-i-formirovanie-ponyatij-logika-i-prinyatie-reshenij.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nas-uchat-bit-miloserdnimi-svetskie-novosti-36.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-9-tonkaya-sistema.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/priklyucheniya-erasta-fandorina-v-xix-veke-stranica-17.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-disciplini-politicheskaya-istoriya-rossii-i-zarubezhnih-stran-dlya-napravleniya-030200-62-politologiya.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/java-verses-c-essay-research-paper-java.html
  • literatura.bystrickaya.ru/samie-rasprostranennie-mifi-o-sektah-upravlenie-vnutrennej-politiki-akimata-kostanajskoj-oblasti-associaciya-praktikuyushih.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-3-marketingovoe-issledovanie-sociologicheskogo-issledovaniya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vospitanie-grazhdanstvennosti-patriotizma-uvazheniya-k-pravam-svobodam-i-obyazannostyam-cheloveka.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/the-hermitage-gallery.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/korporativnaya-kultura-v-mezhdunarodnih-kompaniyah-i-puti-ee-sovershenstvovaniya.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zakonodatelnie-iniciativi-88-nyusmejkeri-22.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tik-tashtipskogo-rajona-informiruet.html
  • control.bystrickaya.ru/bog-dejstvuet-cherez-greshnogo-cheloveka-biografiya-i-tvorchestvo-49.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/ugolovnoe-delo-1-405-ot-30072004-goda-odinnadcatij-tom-posvyashaets-ya-sv-grigori-yu-palam-a-charuyut-ne-cherti.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/ulica-mladshego-sina-cherkashin-n-a-plamya-v-otsekah.html
  • control.bystrickaya.ru/boevie-iskusstva-v-rossii-proniknovenie-rasprostranenie-filosofiya-i-praktika.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vedomstvennaya-antikorrupcionnaya-programma-federalnoj-sluzhbi-finansovo-byudzhetnogo-nadzora-na-period-2008-2010-gg.html
  • student.bystrickaya.ru/-2-materiali-k-provedeniyu-zacheta-kniga-chastnogo-ohrannika-uchebno-spravochnoe-posobie-volters-kluver.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-1-socialnaya-psihologiya-kak-eto-delaetsya-devid-majers-izuchaem-socialnuyu-psihologiyu.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-sintaksicheskogo-analizatora-dlya-proizvolnih-ks-grammatik.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/literatura-vid-iskusstva-ona-sozdaet-esteticheskie-cennosti-i-poetomu-izuchaetsya-s-tochki-zreniya-raznih-nauk-stranica-9.html
  • nauka.bystrickaya.ru/ustrojstvo-personalnogo-kompyutera.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/materiali-dokladov-seminara-avtomatizirovannie-informacionnie-sistemi-dlya-resheniya-zadach-v-socialnoj-sfere.html
  • klass.bystrickaya.ru/andrej-skobelev-mnogo-neyasnogo-v-strannoj-strane-.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.