.RU

Реферат по математике на тему: «Понятие интегрирования и его применение»


Средняя школа №43


РЕФЕРАТ

по математике

на тему: «Понятие интегрирования и его применение»


подготовила: учитель математики

Павич Н.Л.


Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рассматривается обратная к ней операция вычитания. Наряду с операцией умножения рассматривае5тся обратная к ней операция деления, наряду с операцией возведения в степень рассматривается обратная к ней операция извлечения корня. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и ее единственность. Так, если рассматривать только действительные числа, то извлечение квадратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Точно также извлечение квадратного корня не является операцией однозначной, так как при извлечении квадратного корня из положительного числа мы получаем два его значения: положительное и отрицательное. И когда мы познакомились с операцией дифференцирования, возникает вопрос об операции, обратной к ней, которая называется операцией интегрирования. Для операции интегрирования необходимо решить два вопроса: вопрос об осуществимости операции интегрирования и вопрос об единственности операции интегрирования. Перейдем к точным математическим формулировкам. Если задана функция f(x) то функция h(x), заданная для тех же значений аргумента, что и f(x), и удовлетворяющая условию h/(x)= f(x), называется интегралом функции f(x) или первообразной для функции f(x). Переход от заданной функции f(x) к функции h(x), удовлетворяющей уравнению h/(x)= f(x), является операцией интегрирования.

О происхождении терминов и обозначений. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. ^ Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу».

Символ интеграла ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского ihtegro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И. Бернулли.

Другие известные нам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А современную запись интеграла с указанием границ интегрирования называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

^ Из истории интегрального исчисления. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (т.е. вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н.э.). С поvмощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией мы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенная в геометрии, основан на идеях Архимеда. Вспомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π, нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал что объем этого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.( Добавим, что практически и первые теоремы были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математически XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод –метод неделимых, который также родился в Древней Греции ( он связан в первую очередь с атомистическим воззрениями Д е м о к р и т а). Например, криволинейную трапецию, на рисунке они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечной малой величине f(x)dx .В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S=∑ f(x)dx

a
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. К е п л е р (1571-1630гг.) в своих сочинениях « Новая астрономия» (1609г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615г.) правильно вычислил ряд площадей ( например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом ) и объемом (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. а в а л ь е р и (1598-1647) и Э. Т о р р и ч е л л и (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y=f(x) и f(x)+c.

Представляя нашу фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, мы можем составить из них прямоугольник с основанием b-a и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е. S=S1=c(b-a).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так:

Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы вывести сами. Докажите, например, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы.

В XVII в. Были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. Решил задачу квадратуры любой кривой y=xn где n целое (т.е. по существу вывел формулу ∫ xndx=(1/(n+1))*xn+1) и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т.п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались следующем столетии(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематические исследования интегрирования элементарных функций, и И.Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев(*1821-1894). Принципиальное значение имели, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б.Римана(1826-1866), французского математика Г. Дарбу(1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А.Лебегом (1875-1941) и А.Данжуа(1884-2974), советским математиком А.Я. Хинчиным(1894-1959).

^ О применении понятия интеграла. Интегрирование возникает в математике не только как операция, обратная к дифференцированию, но также и при решении многих других задач, о которых было уже сказано. Хочется привести одну необычную задачу, решение которой тоже основано на применении понятия интеграла. « Лев и человек, находящиеся на огороженной круговой арене, имеют одинаковую максимальную скорость. Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?»

Говорят, что задача о «взвешивании монет» стоила 10 000 человеко-часов непродуктивно потраченного времени математиков, занятых оборонной работой во время войны. Было даже сделано предложение сбросить эту задачу над Германией. Задача о льве, хотя и имеет уже 25-летнюю давность, недавно вновь пронеслась по странам; но большинство математиков удовлетворились ответом «лев должен находиться на радиусе ОМ (М - человек)». Применяя понятие интеграла для исследования поставленной задачи, можно прийти к выводу: L не может поймать М, пока М находится на М0 М1. Так как, далее, L1 находится на ОМ, а М1М2 перпендикулярно к L1 М1, то L не может поймать М, пока М находится на М1М2. Это продолжается на каждом последующем звене МпМп+1 и, следовательно, в течение бесконечного времени, так как общая длина ломанной бесконечна.

Другим ярким и интересным примером применения интеграла является задача Ньютона о притяжении шара.

referat-simmetriya-v-prirode-nominaciya-matematika-vokrug-nas.html
referat-sintez-i-prevrasheniya-azotproizvodnih-ugolnoj-kisloti.html
referat-skachen-s-sajta-srednej-shkoli-76-goroda-sankt-peterburga.html
referat-slushatelya-kursov-povisheniya.html
referat-socialnaya-psihologiya-kak-nauka.html
referat-soderzhanie.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/notarialnaya-palata.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-disciplini-9-immunologicheskie-issledovaniya-tipovaya-programma-dopolnitelnogo-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/ramn-v-i-kulakov-professor-d-m-n-zasluzhennij-deyatel-nauki-rf-o-g-frolova-professor-d-m-n-yu-d-landehovskij-k-m-n-i-e-fadeev-k-m-n-t-e-samojlova.html
  • literature.bystrickaya.ru/chelovek-priroda-obshestvo.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-32-nazivajte-veshi-svoimi-imenami-kak-govorit-s-kem-ugodno-i-o-chem-ugodno-naviki-uspeshnogo-obsheniya-i-tehnologii.html
  • letter.bystrickaya.ru/nikitina-n-n-osnovi-professionalno-pedagogicheskoj-deyatelnosti-ucheb-posobie-n-n-nikitina-o-m-zheleznyakova-m-a-petuhov-m-2002.html
  • spur.bystrickaya.ru/l-a-kudrich-zav-kursom-medicini-katastrof-kafedri-voennoj-i-ekstremalnoj-medicini-gou-vpo-tgma-roszdrava-professor-d-m-n.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/ya-eshe-ne-materij-uchitel-no-vse-zhivoe-bessmertno-stranica-3.html
  • gramota.bystrickaya.ru/yan-dobrachinskij-pisma-nikodima-stranica-21.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/programma-shkola-za-zdorovij-obraz-zhizni-aktualnost.html
  • esse.bystrickaya.ru/referat-po-discipline-.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-13-dekabrya-2010-g.html
  • crib.bystrickaya.ru/izhevskaya-gosudarstvennaya-medicinskaya-akademiya.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/punkt-8-povestki-dnya-zakritie-soveshaniya-doklad-o-rabote-pervogo-soveshaniya-specialnoj-rabochej-gruppi-otkritogo.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/v-p-ranchinskij-bryanskij-gosuniversitet.html
  • university.bystrickaya.ru/eto-izdanie-osushestvleno-pri-podderzhke-stranica-6.html
  • institute.bystrickaya.ru/ferzikovskij-rajon-ignatovskaya-sosh.html
  • books.bystrickaya.ru/besedi-po-viskazivaniyam-chzhuan-czi.html
  • assessments.bystrickaya.ru/bibliograficheskij-spisok-sekcii-geografiya-ekologiya-geologiya-geoekologiya-biologicheskie-nauki-veterinarnie.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zadachi-provedenie-vneshnej-kritiki-istoricheskogo-istochnika-spisok-kartin-avtori-dati-napisaniya.html
  • college.bystrickaya.ru/1-sali-zhjesn-mnmen-maizi-1-saliti-tsng-erekshelkter-zhne-elementter.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-1-vvedenie-elhonon-goldberg-upravlyayushij-mozg-lobnie-doli-liderstvo-i-civilizaciya-annotaciya.html
  • grade.bystrickaya.ru/o-priznanii-otkritogo-konkursa-na-pravo-zaklyucheniya-koncessionnogo-soglasheniya-o-rekonstrukcii-i-ispolzovanii-zdaniya-raspolozhennogo-na-zemelnom-uchastke-po-adresu-g-vologda-ul-m-ulyanovoj-d-2-nesostoyavshimsya.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-i-kontrolnie-zadaniya-uchebnoj-disciplini-osnovi-materialovedeniya.html
  • grade.bystrickaya.ru/nnpajkov-materiali-vtorih-lermontovskih-chtenij.html
  • shpora.bystrickaya.ru/xx-geroj-vozvrashaetsya-sobranie-trudov.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/vrachebnij-kontrol-i-samokontrol-zanimayushihsya-fizicheskimi-uprazhneniyami-i-sportom.html
  • learn.bystrickaya.ru/fursenko-prinyal-reshenie-o-perenose-matcha-rossiya-bolgariya-v-peterburg-fursenko-prinyal-reshenie.html
  • notebook.bystrickaya.ru/internet-resursi-gosduma-rf-monitoring-smi-24-iyunya-2008-g.html
  • student.bystrickaya.ru/1-ponyatie-cennih-bumag-i-ih-vidi-stranica-13.html
  • universitet.bystrickaya.ru/strategicheskoe-planirovanie-predprinimatelskoj-deyatelnosti-na-primere-krupnih-gosudarstvennih-predpriyatij.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vmerii-proshla-tradicionnaya-press-konferenciya-valeriya-gergieva-posvyashennaya-programme-xi-moskovskogo-pashalnogo-festivalya-on-otkroetsya-v-prazdnik-svetloj-pashi-15-aprelya-v-bolshom-zale-konservatorii.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rukovodstvo-prezident-m-a-smirnov.html
  • klass.bystrickaya.ru/administraciya-goroda-pokachi-raspolozhennaya-po-adresu-628661-hanti-mansijskij-avtonomnij-okrug-tyumenskaya-oblast-g-pokachi-ul-mira-d-81-v-lice-organizat.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-problemi-servisnogo-sektora-v-sirevih-otraslyah-dlya-specialnosti-080102-65-mirovaya-ekonomika-dlya-podgotovki-specialistov-po-specializacii-mirovie-energeticheskie-rinki.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.